توضیح دهنده درس: مثلث پاسکالریاضیات

در این توضیح، نحوه حل مسائل مثلث پاسکال را یاد خواهیم گرفت.

مثلث پاسکال یکی از جذاب‌ترین سازه‌هایی است که می‌توانیم از الگوی اعداد ساده بسازیم. دیدن ارتباط بین چنین ساختار ساده و بسیاری از زمینه های دیگر ریاضیات جذاب است.

مثلث پاسکال را می توان با شروع با یک در بالا و سپس قرار دادن دو مثلث در زیر تشکیل داد. سپس، هر عنصر یک ردیف برابر است با مجموع دو عنصر بالا. از این رو در شکل زیر می بینیم که این دو مجموع دو مورد بالا است.

برای تکمیل سطر بعدی می توان مجموع دوتایی عناصر این ردیف را در نظر گرفت. اولین ورودی 1 خواهد بود. همانطور که نشان داده شده است می توانیم این را به عنوان مجموع 0 و 1 در نظر بگیریم.

عنصر بعدی مجموع 1 و 2 مطابق شکل زیر است.

به طور مشابه، عنصر زیر حاصل جمع 2 و 1 است.

عنصر نهایی را می توان مانند اولی به صورت مجموع 1 و 0 به صورت زیر در نظر گرفت.

با ادامه این الگو، به مثلث پاسکال می رسیم.

مثلث پاسکال

مثلث پاسکال آرایه مثلثی از اعدادی است که این ویژگی را برآورده می کند که هر عنصر برابر با مجموع دو عنصر بالا است. ردیف ها از بالا به گونه ای شماره گذاری می شوند که ردیف اول شماره گذاری شود

به همین ترتیب، عناصر هر ردیف از شمارش می شوند

. هشت ردیف اول مثلث پاسکال در زیر نشان داده شده است.

اگرچه در بسیاری از کشورهای جهان غرب، این مثلث به نام بلز پاسکال، ریاضیدان فرانسوی نامگذاری شده است، اما در واقع قرن‌ها قبل از او در مکان‌هایی مانند چین، ایران و هند برای ریاضیدانان به خوبی شناخته شده بود. تا به امروز در این مکان ها با نام های مختلف شناخته می شود.

مثلث پاسکال خواص جالب زیادی دارد. ما با نگاه کردن به برخی از الگوهای ساده که در مثلث وجود دارد شروع خواهیم کرد.

برخی از بارزترین الگوها مربوط به مورب ها هستند: به عنوان مثال، مورب اول فقط شامل یک هاست، در حالی که دومی حاوی اعداد صحیح متوالی است.

جالبتر اینکه مورب سوم شامل اعداد مثلث و چهارم شامل اعداد چهار وجهی است.

علاوه بر این، می‌توانیم شاهد وجود تقارن بازتابی در مورد مرکز باشیم.

مثال 1: عناصر در مثلث پاسکال

عنصر دوم در ردیف 500 مثلث پاسکال چیست؟

پاسخ

به یاد بیاورید که عناصر دوم هر ردیف مثلث پاسکال عدد صحیح متوالی هستند. در این مرحله ، ما ممکن است وسوسه شویم که بلافاصله به این نتیجه برسیم که بنابراین 500 خواهد بود. با این حال ، ما باید کمی مراقب تر از این باشیم. به یاد بیاورید که ردیف اول فقط شامل 1 است. از این رو ، عنصر دوم وجود ندارد. ردیف اول با یک عنصر دوم ردیف دوم است که از دو مورد تشکیل شده است. بنابراین ، عنصر دوم در این ردیف 1 و نه 2 است. از این رو ، عنصر دوم ردیف 500 مثلث پاسکال 499 خواهد بود.

مثال 2: الگوهای مثلث پاسکال

یک تصویر جزئی پر شده از مثلث پاسکال نشان داده شده است. با توجه به الگوها یا در غیر این صورت ، مقادیر را پیدا کنید

پاسخ

ما با در نظر گرفتن عناصر مورب سوم شروع می کنیم. یک الگوی واضح برای رفتن از یک عنصر به دیگری وجود دارد: برای رفتن از اول به دوم ، ما دو را اضافه می کنیم. سپس برای رفتن از دوم به سوم ، 3 اضافه می کنیم.

ما می توانیم این الگوی را به شرح زیر گسترش دهیم.

عناصر موجود در این ردیف هستند. از این رو،

ما اکنون عنصر را در نظر می گیریم

بشراین عنصر در واقع در مورب سوم - موردی است که در جهت دیگر قرار دارد - و این ششمین عنصر است. از این رو ،

سرانجام ، ما آن را می بینیم

در مورب دوم است. این مورب حاوی اعداد صحیح مثبت متوالی است. از این رو ، از آنجا که این عنصر یازدهم است ، ارزش آن به سادگی 11 خواهد بود.

بنابراین ، پاسخ نهایی ما این است

مثال 3: مبالغ در طول مورب ها در مثلث پاسکال

شکل بخشی از مثلث پاسکال را نشان می دهد. بدون استفاده از ماشین حساب ، مجموع عناصر برجسته را پیدا کنید.

پاسخ

برای این سوال ، ما می توانیم به سادگی عناصر فردی را خلاصه کنیم. با این حال ، ما در واقع می توانیم از خواص مثلث پاسکال استفاده کنیم تا به سرعت جمع این عناصر را ارزیابی کنیم. ما از کوچکترین عنصر در ردیف شروع خواهیم کرد: 1. به وضوح مجموع این عنصر به سادگی 1 است ، که می توانیم ببینیم عنصر زیر در سمت راست است همانطور که در شکل نشان داده شده است.

اکنون دو عنصر اول را در نظر می گیریم و متوجه می شویم که مبلغ آنها عنصر زیر عنصر دوم سمت راست است.

به همین ترتیب ، مجموع سه عنصر اول مجموع دو عنصر اول و عنصر سوم است. از ویژگی تعریف مثلث پاسکال ، می بینیم که این عنصر مستقیماً در زیر این دو است.

با ادامه این الگوی ، می بینیم که جمع عناصر برجسته شده عنصر زیر آخرین عنصر سمت راست همانطور که نشان داده شده است.

از این رو ، مجموع عناصر برجسته 5 005 است.

اکنون ما توجه خود را به روابط بین عناصر مجاور جلب خواهیم کرد. واضح است که هر عنصر مجموع دو عنصر فوق است. با این حال ، روابط دیگری بین این سه اصطلاح وجود دارد. هنگام بحث در مورد این موضوع ، ما از شمارش ردیف هایی که از آن شروع می شود استفاده خواهیم کرد

بشربه همین ترتیب ، در یک ردیف معین ، ما عناصر را توسط

اولین عنصر در ردیف است.

بگذارید چند برابر کننده را که اصطلاحات مربوط به مورب بین ردیف های ذکر شده توسط

بشرشکل زیر نشان دهنده ضرب است که ما را از

ردیف به صورت مورب سمت چپ.

به نظر می رسد که یک فرم کلی وجود دارد که این اصطلاحات را در رابطه با این اصطلاحات وجود دارد که می توانیم به عنوان ضرب توسط آن نشان دهیم

شمارش عناصر در

ردیفاین در واقع رابطه صحیحی است که برای هر دو عنصر مرتبط با مورب سمت چپ وجود دارد. توجه کنید که هر دو

مربوط به عناصر پایین است. به همین ترتیب ، می توانیم به رابطه بین عناصر موجود در مورب سمت راست نگاه کنیم. شکل زیر نشان دهنده ضرب است که ما را از

ردیف به صورت مورب درست است.

یک بار دیگر ، یک الگوی واضح ظاهر می شود که می توانیم به عنوان ضرب توسط آن نشان دهیم

بشراین دوباره به هر دو عنصر متصل به یک مورب راست تعمیم می یابد. یک بار دیگر ، هر دو

مربوط به عناصر پایین است.

اکنون رابطه بین دو عنصر متوالی را در همان ردیف در نظر خواهیم گرفت. شکل زیر نشان دهنده ضرب است که ما را از

عنصر هفتم به

عنصر هفتم

یک بار دیگر یک الگوی واضح در اینجا وجود دارد: برای حرکت از

عنصر هفتم به

Th ، ما ضرب می کنیم

ما این روابط را در شکل زیر خلاصه می کنیم.

مثال 4: رابطه بین عناصر مجاور در مثلث پاسکال

شکل 7 عنصر مجاور در مثلث پاسکال را نشان می دهد.

با توجه به اینکه 5 985 عنصر 18 در ردیف 22 است ، پیدا کنید

پاسخ

در مرحله اول ، ما می خواهیم مقادیر آن را بنویسیم

برای عنصر داده شدهبه یاد بیاورید که ما شروع به شمارش می کنیم

از صفراز این رو ، عنصر 18 عنصری است که برای آن

و ردیف 22 ردیف است که برای آن

ما از روابط بین عناصر متوالی در مثلث پاسکال استفاده خواهیم کرد. ما چند برابر را نشان می دهیم که عناصر مجاور را در شکل زیر وصل می کنند.

اکنون توجه خود را به یافتن جلب می کنیم

بشربه یاد بیاورید که ، در یک ردیف معین ، از

عنصر هفتم به

Th ، ما ضرب می کنیم

بشراز این رو ، برای حرکت از

TH ، عنصر ما توسط متقابل ضرب می کنیم:

اکنون می توانیم از رابطه بین مورب های چپ برای یافتن استفاده کنیم

بشربه یاد بیاورید که ، برای پایین آمدن مورب سمت چپ (از

عنصر هفتم در

عنصر هفتم در

ردیف هفتم) ، ما را ضرب می کنیم

بشراز این رو ، برای حرکت در جهت مخالف ، ما توسط متقابل ضرب می کنیم:

به همین ترتیب ، با استفاده از رابطه بین عناصر در مورب سمت راست ، می توانیم پیدا کنیم

بشربه یاد بیاورید که ، برای پایین آمدن از مورب سمت راست (از

عنصر هفتم در

عنصر هفتم در

ردیف هفتم) ، ما را ضرب می کنیم

بشراز این رو ، برای حرکت در جهت مخالف ، ما توسط متقابل ضرب می کنیم:

ارزش بررسی آن را دارد

، از آنجا که اگر این درست نبود ، ما اشتباه می کردیم. با بررسی این موضوع ، متوجه می شویم که سه عنصر ما این شرایط را برآورده می کنند. ما اکنون در نظر داریم

بشرما می توانیم از رابطه بین عناصر در همان ردیف استفاده کنیم و می توانیم پیدا کنیم

با ضرب در

سرانجام ، ما می توانیم پیدا کنیم

با استفاده از خاصیت تعریف مثلث پاسکال:

به همین ترتیب ، می توانیم پیدا کنیم

از این رو ، پاسخ نهایی این است

با استفاده از این رابطه بین عناصر ، می توانیم یک فرمول کلی برای یک عنصر پیدا کنیم. ما عنصر ذکر شده را در نظر می گیریم

در ردیف ذکر شده

بشرما در نظر می گیریم که چگونه در ابتدای ردیف به این عنصر برسیم که همیشه برابر است با 1. برای رسیدن به عنصر دوم (

بشرسپس ، برای رسیدن به عنصر بعدی ، ما را ضرب می کنیم

بشراز این رو ، برای رسیدن از اول به سوم ، ما را ضرب می کنیم

بشربا ضرب این امر توسط ضرب برای رسیدن به عنصر بعدی ، فرمول زیر را برای عنصر چهارم داریم (در موقعیت

ما می توانیم این الگوی را ادامه دهیم تا زمانی که در موقعیت به عنصر برسیم

، که فرمول را به ما می دهد

با استفاده از نماد فاکتوریل ، می توانیم این را به طور دقیق تر بنویسیم. به یاد بیاورید که فاکتوریل یک عدد صحیح مثبت است

آیا محصول تمام اعداد صحیح مثبت کمتر از یا مساوی است

با استفاده از نماد فاکتوریل ، ما می توانیم این را بازنویسی کنیم

این فرمول ممکن است آشنا باشد زیرا در واقع فرمول ترکیب است

که گاهی اوقات به عنوان ضریب دوتایی نیز گفته می شود

بشراز این رو ، در یافتن یک فرمول کلی ، ما همچنین نشان داده ایم که بین مثلث و ترکیبی پاسکال ارتباط محکمی وجود دارد. علاوه بر این ، ما همچنین نشان داده ایم که مثلث پاسکال مثلث ساخته شده از ضرایب دوتایی است (که در واقع تعریف جایگزین از مثلث است).

در بقیه این توضیح دهنده ، ما با شروع ارتباط بین مثلث پاسکال و ضرایب دوتایی ، کمی زمان را برای کاوش در این دو اتصال می گذرانیم.

مثلث پاسکال می تواند برای یافتن ضرایب اصطلاحات در گسترش استفاده شود

بشرشکل این را نشان می دهد.

این رابطه اغلب در قضیه دوتایی اسیر می شود.

قضیه دوتایی

بعضی اوقات از علامت زیر به جای استفاده می شود

مثال 5: جمع یک ردیف مثلث پاسکال

مجموع اصطلاحات در ردیف 30 مثلث پاسکال چیست؟

پاسخ

به یاد بیاورید که ردیف 30 مثلث پاسکال ردیف است که ما آن را شمارش می کنیم

بشربا توجه به ارتباط بین عناصر مثلث پاسکال و ضرایب دوتایی ، می توانیم این مسئله را به عنوان مشکل ارزیابی دوباره بیان کنیم

ما مطمئناً می توانیم این را با یک ماشین حساب ارزیابی کنیم. با این حال ، با استفاده از قضیه دوتایی ،

ما می توانیم روند ارزیابی این عبارت را به طور جدی ساده کنیم. توجه داشته باشید که اگر تنظیم کنیم

از این رو ، مجموع اصطلاحات در ردیف 30 مثلث پاسکال است

خاصیتی که آخرین مثال کاوش شده برای ردیف 30 منحصر به فرد نیست. در حقیقت ، مجموع ردیف های متوالی مثلث پاسکال قدرتهای متوالی دو است. به طور خاص ، ردیف ذکر شده است

مثال 6: جمع هر عنصر دوم در ردیف مثلث پاسکال

مجموع هر عنصر دیگر در ردیف 1000 مثلث پاسکال چیست؟

پاسخ

به یاد بیاورید که ردیف 1 000 مثلث پاسکال ردیف است که ما آن را شمارش می کنیم

بشربرای سؤالی از این دست ، اعداد به وضوح برای ارزیابی ما به روشی طولانی بسیار زیاد خواهند بود. بنابراین ، ما باید یک روش جایگزین پیدا کنیم. در مرحله اول ، با استفاده از اتصال بین مثلث پاسکال و ضرایب دوتایی ، می توانیم این مسئله را به عنوان مشکل ارزیابی دوباره بیان کنیم

ما این مبلغ را مشخص خواهیم کرد

بشرعلاوه بر این ، ما مجموع اصطلاحات دیگر را بیان خواهیم کرد

ما می دانیم که مجموع تمام شرایط این ردیف برابر خواهد بود

بشرما اکنون می خواهیم یک عبارت دیگر را از نظر پیدا کنیم

تا بتوانیم برای آن حل کنیم

بشربا استفاده از قضیه دوتایی ،

ما می توانیم با تنظیم چنین عبارتی پیدا کنیم

ما می توانیم این را به عنوان بازنویسی کنیم

، ما می توانیم این دو معادله را برای دریافت اضافه کنیم

بشربنابراین ، مجموع هر عنصر دیگر در ردیف 1000 مثلث پاسکال است

سرانجام ، ما ارتباط بین مثلث و ترکیبی پاسکال را در نظر خواهیم گرفت. ما می توانیم مثلث پاسکال را به عنوان نمودار در نظر بگیریم که در آن هر ورودی یک گره را نشان می دهد. در هر گره ، ما انتخابی برای رفتن به چپ یا راست داریم. با توجه به این ایده ، ورودی های مثلث های پاسکال را می توان به عنوان تعداد مسیرهای مجزا که از طریق نمودار از عنصر بالا به عنصر داده شده منتقل می شوند ، تعبیر کرد. به عنوان مثال ، اگر عنصر سوم ردیف چهارم را در نظر بگیریم ، می توانیم ببینیم که سه مسیر مجزا وجود دارد تا از بالای مثلث به عنصر داده شده برسیم.

ما می توانیم از این ویژگی برای حل مشکلات ترکیبی و احتمالی استفاده کنیم ، همانطور که مثال بعدی نشان می دهد.

مثال 7: مثلث و ترکیبی پاسکال

رامی در حال بازی یک بازی است که در آن یک توپ روی مجموعه ای از میخ ها قرار می گیرد ، از عمودی بالاتر از بالای میخ ، و به سطل های شماره دار در پایین می رود.

او فقط در صورتی که در سطل های 3 یا 7 قرار بگیرد ، جایزه می گیرد. با توجه به اینکه یک احتمال وجود دارد که حتی در سمت چپ یا سمت راست هر یک از میخ های معین قرار می گیرد ، این احتمال را پیدا کنید.

پاسخ

احتمال اینکه یک توپ در یک سطل خاص به پایان برسد برابر با تعداد مسیرهای ممکن به آن سطل تقسیم شده توسط تعداد کل مسیرها از طریق آرایه باشد. به یاد بیاورید که ورودی های مثلث پاسکال را می توان به عنوان تعداد مسیرهای ممکن از طریق مثلث تعبیر کرد. از این رو ، تعداد مسیرهای هر سطل را می توان با استفاده از مثلث Pascals یافت. در شکل داده شده 9 سطل داریم. بنابراین ، ما می خواهیم ردیف نهم مثلث پاسکال را در نظر بگیریم ، که ردیف آن است

بشرما می توانیم با استفاده از فرمول کلی برای ورودی ها یا به سادگی تولید مثل نه ردیف اول مثلث ، این ردیف را بنویسیم. در اینجا ما از فرمول کلی استفاده خواهیم کرد.